Prepara las cebollas caramelizadas: Calienta una sartén a fuego medio y derrita la mantequilla con aceite de oliva.
Pique las cebollas en rodajas finas, agréguelas a la mantequilla y el aceite cuando comience a burbujear y revuelva para cubrir las cebollas. Agrega sal al gusto, ajo, romero y vinagre. Continúe revolviendo la mezcla.
Cocine las cebollas a fuego medio hasta que estén completamente suaves y doradas pero no quemadas, aproximadamente 30 minutos. Una vez caramelizadas, apague el fuego y reserve las cebollas para que se enfríen un poco.
Prepara la salsa de frijoles: Escurre y enjuaga los frijoles, agrégalos a un procesador de alimentos junto con vinagre, aceite de oliva, miel (opcional) y una pizca de sal.
Agregue ⅔ de las cebollas caramelizadas enfriadas. Licue durante 30 segundos o hasta que tenga una textura suave pero espesa; algunos trozos más grandes de cebolla son normales. Pruebe y agregue sal si es necesario.
Sirva a temperatura ambiente cubierto con las cebollas restantes, un chorrito generoso de aceitunas y un poco más de romero fresco picado y limón en rodajas.