Faça as cebolas caramelizadas: leve ao lume médio uma frigideira e derreta a manteiga com o azeite.
Pique as cebolas em rodelas finas, acrescente-as à manteiga e ao óleo quando começar a borbulhar e mexa para revestir as cebolas. Adicione sal a gosto, alho, alecrim e vinagre. Continue mexendo a mistura.
Cozinhe as cebolas em fogo médio até que estejam completamente macias e douradas, mas não queimadas, cerca de 30 minutos. Depois de caramelizada, desligue o fogo e reserve as cebolas para esfriar um pouco.
Prepare o molho do feijão: escorra e lave o feijão, coloque-o no processador de alimentos junto com vinagre, azeite, mel (opcional) e uma pitada de sal.
Adicione ⅔ das cebolas caramelizadas resfriadas. Bata por 30 segundos ou até ficar homogêneo, mas com textura espessa, alguns pedaços maiores de cebola são normais. Prove e adicione sal se necessário.
Sirva em temperatura ambiente coberto com as cebolas restantes, um fio generoso de azeitona e um pouco mais de alecrim fresco picado e limão cortado.