Em uma frigideira grande e funda, aqueça o azeite. Tempere as costelas com sal e pimenta. Adicione-os à frigideira e cozinhe em fogo moderado, virando uma vez, até dourar e ficar crocante, cerca de 18 minutos. Transfira as costelas para uma assadeira rasa em uma única camada.
Adicione a cebola, cenoura, aipo e alho à frigideira e cozinhe em fogo baixo, mexendo ocasionalmente, até ficar bem macio e levemente dourado, cerca de 20 minutos. Adicione o vinho e os ramos de tomilho e deixe ferver em fogo alto. Despeje a marinada quente sobre as costelas e deixe esfriar. Cubra e leve à geladeira durante a noite, virando as costelas uma vez.
Pré-aqueça o forno a 350 ° F. Transfira as costelas e a marinada para uma caçarola grande de ferro fundido esmaltada. Adicione o caldo de galinha e deixe ferver. Cubra e cozinhe no terço inferior do forno por 1 1/2 horas, até que a carne esteja macia, mas não desmanchando.
Destampe e refogue por mais 45 minutos, virando as costelas uma ou duas vezes, até o molho reduzir pela metade e a carne ficar bem macia.
Transfira a carne para uma assadeira rasa limpa, descartando os ossos à medida que caem. Coe o molho em um copo medidor resistente ao calor e retire o máximo de gordura possível. Despeje o molho sobre a carne; deve haver cerca de 2 xícaras. Você pode servir neste ponto ou ir para a próxima etapa.
Este passo é opcional: Pré-aqueça o frango. Grelhe a carne, virando uma ou duas vezes, até ficar glaceada e crepitante, cerca de 10 minutos. Transfira a carne para pratos, coloque o molho por cima e sirva.