Pré-aqueça o forno a 350 ° F
Em fogo médio, adicione 2 colheres de sopa de azeite em uma frigideira grande.
Usando um prato grande, misture a farinha, sal e pimenta. Trabalhando em lotes, passe cada costeleta pela farinha temperada sacudindo o excesso e coloque na frigideira quente. Doure os dois lados das costeletas cerca de 3 minutos de cada lado. Adicionando mais 1-2 colheres de sopa de azeite para cada lote ou conforme necessário. Coloque as costeletas douradas em uma assadeira/caçarola grande.
Coloque os cogumelos fatiados na frigideira e cozinhe por cerca de 5 minutos até soltarem a água e os cogumelos ficarem levemente dourados. Coloque os cogumelos cozidos sobre o frango na assadeira.
Em seguida, adicione as cebolas em fatias finas à frigideira. Se a panela estiver seca, adicione um pouco de azeite. Refogue as cebolas por cerca de cinco minutos até que as cebolas estejam macias e translúcidas. Na panela quente com as cebolas, adicione o caldo de galinha e o vinagre balsâmico. Mexa cuidadosamente a mistura, soltando qualquer um dos pedaços marrons no fundo da panela, para não perder todo aquele sabor extra. Cozinhe o molho por 1-2 minutos.
Coloque as cebolas cozidas e o molho sobre o frango preparado na assadeira. * Neste ponto, você pode refrigerar a assadeira e segurar para cozinhar.
Coloque a assadeira coberta no forno pré-aquecido, asse por 45 minutos ou até que as bordas comecem a borbulhar.
Cubra com a salsa fresca picada e sirva.